Подбор задач на совместную работу и производительность. Сложные задачи на пропорцию

Сдача выпускниками основной школы экзамена по математике в новой форме и выпускниками средней школы - в форме ЕГЭ поставила перед учителями ряд вопросов: Как обучать в новых условиях? Как организовать свой урок так, чтобы учащиеся после экзамена получали удовлетворение, а не говорили, что «мы таких задач не решали»? Очень актуальны слова Л.Г. Петерсон: «Сегодня ценность является не там, где мир воспринимается по схеме «знаю – не знаю, умею – не умею, владею – не владею», а где есть тезис «ищу и нахожу, думаю и узнаю, тренируюсь и делаю». На первый план выходит личность ученика, его отношение к миру, способность к культурному общению и рефлексии, адекватной самооценке и саморазвитию, нацеленность на созидание и добро».

Каким должен быть современный урок? Это прежде всего интересный урок. Лишь при этом можно поддерживать высокую мотивацию и эмоциональную окраску урока. Это и продуманная структура урока, и логика изучения нового материала, и разнообразие дидактического материала, и организация работы учащихся, и постоянные поиски форм и методов преподавания, и техническое оснащение урока.

С чего начинать? В начале каждого учебного года в 5-9 классах провожу входные мониторинговые контрольные работы для выявления остаточных знаний учащихся. По остаточным знаниям детей рассаживаю в соответствии с тремя уровнями подготовки на определенные ряды. При этом учащиеся знают, что по мере усвоения материала они могут переходить в следующую по уровню подготовки группу.

Чтобы достичь хороших результатов на каждом уроке провожу обязательный устный счет, обучающие самостоятельные работы, тесты. В 6 классе учащиеся должны хорошо усвоить тему с положительными и отрицательными числами, в 7- м – хорошо изучить формулы сокращенного умножения, в 8 –м- решение квадратных уравнений. Это глобальные темы, которые нельзя запускать. В 5-7 классах применяю рабочие тетради с тестовыми заданиями, а также сборники заданий с тестами. Знакомство учащихся с алгоритмами решения задач осуществляется на уроке – лекции. Ребята имеют отдельную тетрадь, в которую записывают предписания и образец выполнения задания. Дальнейшая отработка выполняется на практических занятиях при различных формах работы (фронтальной, групповой, индивидуальной). В целях оперативного контроля за усвоением алгоритма очень часто (каждый урок или через урок) провожу небольшие самостоятельные работы, цель которых – не выставление оценок, а выявление тех учащихся, которые что-то не поняли. Этим ребятам оказывается оперативная помощь консультантами или объясняю ещё раз, вызывая к доске. При организации работы в группах, часть учащихся получает задания, направленные на достижение обязательных результатов обучения, причём, некоторые имеют перед собой образец выполнения задания, а другие – только алгоритм, более сильные учащиеся получают задания на продвинутом уровне. На таком уроке моя работа сосредоточена на более слабых учениках, в сильной группе, как правило, всегда коллективными усилиями находят верное решение, самостоятельно применяя знания и приёмы деятельности в новой ситуации. Оценивая учащихся, не спешу выставлять оценки в журнал, всегда даю возможность получить более высокую отметку и обязательно поправить "двойку”, для этого ученик должен сделать работу над ошибками самостоятельно или с помощью консультантов (с моей помощью), а затем решить аналогичное задание на уроке.

Главное, что со временем ребята перестают бояться "двоек”, смелее задают вопросы, справляются с задачами обязательного уровня. Обстановка на уроке доброжелательная, спокойная.

Обучение алгоритмам даёт возможность достичь обязательного уровня обучения наиболее слабым учащимся и не может привести стандартизации мышления и подавлению творческих сил детей, так как выработка различных автоматизированных действий (навыков) – необходимый компонент творческого процесса, без них он просто невозможен.

Обучение алгоритмам не сводится к их заучиванию, оно предполагает и самостоятельное открытие, построение и формирование алгоритмов, а это и есть творческий процесс. Наконец, алгоритмизация охватывает далеко не весь учебный процесс, а лишь те его компоненты, где она является целесообразной. Система алгоритмов – программ позволяет в определённой мере автоматизировать учебный процесс на этапе формирования навыков в решении типовых задач и создаёт широкие возможности для активной самостоятельной работы учащихся.

В конце 7-го класса и в 8 классе учащихся я знакомлю со сборником заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе Л. В. Кузнецовой, издательства "Просвещение" 2007-2009 годов. Этот сборник предназначен для подготовки к государственной итоговой аттестации по алгебре в новой форме, который состоит из трех основных разделов и двух приложений.

В 9 классе разрабатываю свою систему подготовки учащихся к экзамену за курс основной школы.

В календарно-тематическое планирование уроков алгебры за 9-й класс вношу темы, которые нужно повторить

Основное свойство пропорции;

Задачи на составлении и решение пропорций;

Задачи на проценты;

Формулы сокращенного умножения;

Выражения и их преобразования

Уравнения и системы уравнений;

Неравенства и системы неравенств;

Арифметическая и геометрическая прогрессии.
Повторение провожу как на уроках, так и после уроков через системные консультации. На уроке, создав микроклимат в классе, отрабатываю алгоритмизацию действий; удерживая интерес учащихся к предмету, формирую мотивацию к обучению. Учащиеся хорошо усваивают обязательный минимум материала по математике, если пользуются методическими приемами:

Решение задач по образцу;

Рассмотрение различных подходов к решению одной и той же задачи;

Составление опорных схем и применение других наглядных средств обучения;

Правильный подбор тематики и уровня задач, придание им занимательной формы;

Использование соревнования, к которому побуждают следующие вопросы учителя: , Как решить быстрее?”, У кого решение получилось самое короткое?”. , Самое простое?”.

Провожу тематический контроль с помощью тестирования, соблюдая правила организации работы с тестами:

Учащиеся делают записи в картах ответов;

Учитель дает инструктаж, как правильно заполнить карту;

Время выполнения и нормы оценок должны быть объяснены ученику заранее.
На уроках использую карточки-консультанты, с помощью которых повторять изученный материал. В них содержатся все условные моменты изучаемой темы, а так же алгоритм решения заданий.
КАРТОЧКА-КОНСУЛЬТАНТ ПО ТЕМЕ

«СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»
Система линейных уравнений:
:

Способы ее решения

Ответ: х =_______ ; у =_______

В работе со слабоуспевающими детьми использую целый арсенал карточек, Работай по образцу!” , которые позволяют отработать алгоритм разнообразных действий и математических операций.
Задания по образцу.

Учащиеся должны выполнять задания с пропусками. Пропускаются ключевые слова, правильное запоминание которых свидетельствует о понимании материала.
Задания с пропусками.
Квадратные корни.

Использовать тематические таблицы по разным разделам школьного курса. В каждой таблице кратко изложена теория конкретного вопроса (определения, теоремы, следствия, формулы); приводятся рисунки, графики, а так же примеры решения наиболее принципиальных задач.

Таблицы помогают систематизировать знания, быстро и полно повторить основные моменты той или иной темы.

Таблица. Квадратные корни .

Определение арифметического корня	= 4, т.к. 4  0, 4 2 = 16;  7, т.к. 7 2  25;  −5, т.к. −5  0; не определён.	2  3; 0,8  0,9.
Тождества	Основные свойства

Если a  b  0, то

.

.

Если a  1, то a  и  1.

Если 0  a  1, то a  и 0   1.

Вынесение из-под корня , b  0	Внесение под корень
; ; ;	; ;

Провожу уроки обобщения и систематизации знаний. Без уроков обобщения и систематизации знаний, называемых также уроками обобщающего повторения, нельзя считать процесс повторения учащимися учебного материала завершенным. Основное назначение этих уроков заключается в усвоении учащимися связей и отношений между понятиями, теориями, в формировании целостного представления у учащихся об изученном материале, его значимости и применения в конкретных условиях. Обобщение и повторение ориентированны на то, чтобы учащиеся успешно сдали экзамены по математике. Приведу пример обобщающего повторения по теме: «Решение текстовых задач».

Вопросы:

1. 
   Простые задачи на пропорцию.
2. 
   Сложные задачи на пропорцию.
3. 
   Тест№1.
4. 
   Нахождение числа по его процентам.
5. 
   Нахождение процентного отношения.
6. 
   Тест №2.
7. 
   Сложные задачи на проценты. Задание.
8. 
   Задачи на джвижение по реке.
9. 
   Задачи на движение.
10. 
    Тест №3.
11. 
    Тест №4.
12. 
    Задачи на умножение и деление натуральных чисел.
13. 
    Задачи на части.
14. 
    Задачи на совместную работу.
15. 
    Решение задач с помощью уравнений.
16. 
    Тест №5.
17. 
    Разные задачи. Вопросы и задания.

Используемые источники :

1. 
   Алгебра: сб. заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл./ [Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.]. М.: Просвещение, 2007.
2. 
   Учебно-методическая газета Математика 2005 г., №№ 18,19, 20, 21, 22, 23;2007 г. №№ 18, 19; 2008 г. №№11, 12.
3. 
   Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 7-9. Москва. Просвещение. 2008 г. Составитель: Бурмистрова Т. А.

Простые задачи на пропорцию

Первые задачи предполагают получение ответа с опорой на опытные представления учащихся, они нацелены на повторение понятий прямой и обратной пропорциональности.

При решении первых задач полезно подчеркнуть, что стоимость покупки определяется по формуле

стоимость = цена количество,

и проследить, как при увеличении (уменьшении) од­ной величины в несколько раз изменяется вторая ве­личина при неизменной третьей.
1°. За несколько одинаковых карандашей запла­тили 8 р. Сколько нужно заплатить за такие же ка­рандаши, если их купили в 2 раза меньше?
2°. За несколько одинаковых карандашей запла­тили 8 р. Сколько нужно заплатить за такое же коли­чество карандашей, каждый из которых в 2 раза до­роже?
3°. Имеются деньги на покупку 30 карандашей. Сколько тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?

1. 
   Велосипедист за несколько часов проехал 36 км. Какое расстояние пройдет за то же время пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велоси­педиста?

1. 
   Некоторое расстояние велосипедист проехал за 3 ч. За сколько часов это расстояние проедет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста?

Перейдем к решению задач с помощью пропор­ций. Первая из них содержит целые значения вели­чин, отношение которых тоже целое число.
6. За 6 ч поезд прошел 480 км. Какой путь про­шел поезд за первые 2 ч, если его скорость была по­стоянна?

7. Для варки варенья из вишни на 6 кг ягод берут 4 кг сахарного песку. Сколько килограммов сахарного песку надо взять на 12 кг ягод?

1. 
   В 100 г раствора содержится 4 г соли. Сколько граммов соли содержится в 300 г раствора?

9. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 ч. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстоя­ние со скоростью 40 км/ч?
10. Пять маляров могли бы покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор 10 маляров?
В задаче 10, как и во многих других задачах, пред­полагается, что все работники трудятся с одинаковой производительностью и не мешают друг другу. Это желательно каждый раз оговаривать, чтобы учащие­ся внимательнее относились к такого рода условиям.

Чтобы у них не сложилось впечатление, будто за­висимость бывает только двух видов - прямой или обратной пропорциональностью, - полезно рассмот­реть провокационные задачи, в которых зависимость имеет другой характер.
11. 1) За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько кара­сей поймают за 3 ч?

1. 
   Три петуха разбудили 6 человек. Сколько чело­век разбудят пять петухов?
2. 
   Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать еще 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц?

Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа оставшихся страниц часто принимают за об­ратную пропорциональность: чем больше страниц прочитано, тем меньше осталось прочитать. Обратите внимание детей на то, что увеличение одной и умень­шение другой величины происходит не в одно и то же число раз.

Рассмотрим задачу, в которой зависимость между величинами часто принимают за прямую пропорцио­нальность и считают верным ответ «за 4 недели».
12*. Пруд зарастает лилиями, причем за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается. За сколь­ко недель пруд покрылся лилиями наполовину, если полностью он покрылся лилиями за 8 недель?
Так как за неделю площадь, покрытая лилиями, удваивается, то за неделю до того, как пруд полно­стью покрылся лилиями, его площадь была ими по­крыта наполовину. То есть пруд покрылся лилиями наполовину за 7 недель?

1. 
   8 м сукна стоят столько же, сколько стоят 63 м ситца. Сколько метров ситца можно купить вместо 12 м сукна?

1. 
   (Старинная задача.) В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 ч. Нужно узнать, сколько косцов за 3 ч выпьют такой же бочонок кваса?

1. 
   (Из «Арифметики» АЛ. Киселева?) 8 аршин сукна стоят 30 р. Сколько стоят 15 аршин этого сукна?

1. 
   Грузовой автомобиль со скоростью 60 км/ч проехал расстояние между городами за 8 ч. За сколько часов то же расстояние проедет легковой автомобиль со скоростью 80 км/ч?

1. 
   Автомобилист заметил, что со скоростью 60 км/ч он проехал мост через реку за 40 с. На обратном пути он проехал мост за 30 с. Определите скорость автомобиля на обратном пути.
2. 
   Две шестеренки сцеплены зубьями. Первая, имеющая 60 зубьев, за минуту делает 50 оборотов. Сколько оборотов за минуту делает вторая, имеющая 40 зубьев?

Рассмотренных выше задач вполне достаточно, чтобы учащиеся научились различать прямую и об ратную пропорциональность, составлять пропорции] и решать их.

1. 
   (Из «Арифметики» А.П. Киселева.) 8 человек рабочих оканчивают некоторую работу в 18 дней; сколько дней окончат ту же работу 9 человек, работая так же успешно, как и первые?

20*. (Старинная задача.) Десять работников должны кончить работу в 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то оказалось необходимым кончить работу через 3 дня. Сколько еще нужно нанять работников?

1. 
   (Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого.) Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников и спросил, в сколько дней построят они его двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить, ня ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и я плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо иметь, чтобы построить тот двор в 5 дней?

22*. (Старинная задача.) Взяли 560 человек сол­дат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев; и захотели людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить.

1. 
   (Старинная задача.) Одна артель плотников, состоящая из 28 человек, может построить дом в 54 дня, а другая - из 30 человек - в 45 дней. Какая артель работает лучше?

Завершая разговор о задачах, решаемых с помо­щью пропорций, надо привести пример задачи, кото­рая не решается «по-старому»

24. Некоторое расстояние пассажирский поезд проходит за 3 ч, а скорый поезд - за 2 ч. Однажды эти поезда одновременно вышли навстречу друг другу из двух городов. Пассажирский поезд прошел 120 км до встречи со скорым. Сколько километров прошел скорый поезд до встречи с пассажирским?

Здесь нельзя 120 км делить на 3 ч, так как за 3 ч пройдено некоторое другое расстояние. Запишем кратко условие задачи.

Время Расстояние

Скорый 2ч х км

Пассажирский Зч 120 км

Первый раз поезда прошли один и тот же путь, при этом скорость обратно пропорциональна време­ни, то есть скорость скорого поезда в раза больше скорости пассажирского.

А во второй раз постоянным было время движе­ния, при этом расстояние прямо пропорционально скорости, то есть путь, пройденный скорым поездом, в раза больше пути, пройденного пассажирским поездом.

Составим пропорцию
, решив которую получим х = 180. Скорый поезд до встречи с пассажирским прошел 180 км.

Сложные задачи на пропорцию

Кур Дней Яиц

3 33
12 12 х

4.

5. (Старинная задача.)

6.

7. (Старинная задача.)
Тест 1

Вариант 1

1. 
   В двух библиотеках было одинаковое количество книг. Через год в первой библиотеке число книг увеличилось на 50%, а во второй – в 2 раза. В какой библиотеке книг стало больше?

Б . Во второй библиотеке

В . Книг осталось поровну

Г

1. 
   При покупке стиральной машины стоимостью 6500 р. покупатель предъявил вырезанную из газеты рекламу, дающую право на 5% скидки. Сколько он заплатит за машину?

1. 
   На первый курс института может быть принято 180 человек. Число поданных заявлений составило 120% от количества мест на курсе. Сколько заявлений было подано?

1. 
   Уровень воды в реке находился на отметке 2,4 м. В первые часы наводнения он повысился на 5%. Какой отметки при этом достигла вода в реке?

Вариант 2

1. 
   В двух библиотеках было одинаковое количество книг. Через год в первой библиотеке число книг увеличилось на 50%, а во второй – в 1,5 раза. В какой библиотеке книг стало больше?

Б . Во второй библиотеке

В . Книг осталось поровну

Г . Для ответа не хватает данных

1. 
   Плата за коммунальные услуги составляет 800 р. Сколько придется платить за коммунальные услуги после их подорожания на 6%?

1. 
   В декабре каждому сотруднику предприятия выплатили премию, составившую 130 его месячной заработной платы. Какую премию получил сотрудник, зарплата которого равна 5500 р.?

1. 
   Предприятие разместило в банке 5 млн р. под 8% годовых. Какая сумма будет на счету предприятия через год?

Б. 9 млн р. Г. 0,4 млн р.
Нахождение числа по его процентам

1. 
   В магазин электротоваров привезли лампочки. Среди них оказалось 16 разбитых лампочек, что составило 2% их числа. Сколько лампочек привезли в
   магазин?
2. 
   Найдите число, 110% которого равны 33.

1. 
   60% класса пошли в кино, а остальные 12 че­ловек - на выставку. Сколько учащихся в классе?

1. 
   10 000 0,02 = 200 (маш.);
2. 
   10 000 + 200 = 10 200 (маш.),

- На сколько процентов завод выполнил план?

- На 100 + 2 = 102 (%).

- Сколько машин приходится на 102% ?

• 
  10 000-1,02 = 10200 (маш.)

1. 
   Трава при сушке теряет 80% своей массы. Сколько тонн сена получится из 4 т свежей травы? Сколько тонн травы нужно накосить, чтобы насушить 4 т сена?

1. 
   100 - 80 = 20 (%) - массы травы составляет масса сена;
2. 
   4 0,2 = 0,8 (т) - сена получится из 4 т травы;
3. 
   4: 0,2 = 20 (т) - травы надо накосить.

1. 
   Цена альбома была снижена сначала на 15%, потом еще на 15 р. Новая цена альбома после двух снижений 19р. Определите его первоначальную цену.

1. 
   15 + 19 = 34 (р.) - стоил альбом до второго
   снижения цены;

1. 
   100 - 15 = 85 (%) - приходится на 34 р.;

3)
= 40 (р.) - стоил альбом первоначально.

1. 
   Сложили три числа. Первое составило 25% суммы, а второе - 40%. Найдите третье число, если оно на 45 меньше второго.

1. 
   100 - 25 - 40 = 35 (%) - суммы приходится
   на третье число;

1. 
   40 - 35 = 5 (%) - суммы приходится на 45;

3)
= 315 - третье число.

1. 
   30% класса и еще 5 человек пошли в кино, а 3 оставшиеся - класса и еще 8 человек - на экскурсию. Сколько человек в классе?

1. 
   Одна треть рабочих предприятия имела отпуск летом, 35% остальных рабочих отдыхали осенью и еще 2314 человек отдыхали зимой и весной. Сколько рабочих на предприятии?

1. 
   При продаже товара на 693 р. получено 10% прибыли. Определите себестоимость товара.

Нахождение процентного отношения

Решая задачи из этого раздела, учащиеся должны освоить одну простую идею: чтобы найти процентное отношение двух чисел, т.е. сколько процентов первое число составляет от второго, можно выразить отношение первого числа ко второму в процентах.

Первые задачи такого типа должны быть простыми, то есть отношение чисел должно вы­ражаться конечной десятичной дробью.
Чтобы найти процентное отноше­ние двух чисел, можно первое число разделить на второе и результат умножить на 100.

1. 
   Из 16 кг свежих груш получили 4 кг суше­ных. Какую часть массы свежих груш оставляет масса сушеных? Выразите эту часть в процентах. Сколько процентов массы теряется при сушке?

1. 
   Сколько процентов числа 50 составляет число 40? Сколько процентов числа 40 составляет число 50?

1. 
   Маша прочитала 120 страниц и ей осталось прочитать 130 страниц книги. Сколько процентов всех страниц она прочитала? Сколько процентов всех стра­ниц ей осталось прочитать?

1. 
   В месяце было 12 солнечных и 18 пасмурных дней. Сколько процентов месяца составляют солнеч­ные дни? пасмурные дни?

5. На сколько процентов 50 больше 40? 40 мень­ше 50?

50 от 40 составляет , или
% = 125% ;

50 больше, чем 40 на 125 - 100 = 25 (%);

40 от 50 составляет , или
% = 80% ;

40 меньше, чем 50 на 100 - 80 = 20 (%).
6. Цена товара снизилась с 40 р. до 30 р. На сколь­ко рублей снизилась цена? На сколько процентов сни­зилась цена?
В задаче 6 учащимся бывает трудно определить, какое число принимать за 100% . Нужно обратить их внимание на то число, с которым сравнивают другое число. В этом помогает переформулировка задачи: «На сколько процентов 30 р. меньше, чем 40 р.?». Срав­нивают с суммой 40 р., значит, 40 р. - это 100%.

Тест 2

1. 
   Число дорожно-транспортных происшествий в летний период составило 0,7 их числа в зимний период. На сколько процентов уменьшилось число дорожно-транспортных происшествий летом по сравнению с зимой?

А. На 70% Б. На 30% В. На 7% Г. На 3%

А. Б. В. 0,08 Г. 0,8
1) 50% 2) 80% 3) 75% 4) 8%
Вариант 2

1. 
   После уценки телевизора его новая цена составила 0,8 старой. Сколько процентов от старой цены составляет новая?

А. 0,8% Б. 8% В. 20% Г. 80%

1. 
   Соотнесите дроби, которые выражают доли некоторой величины, и соответствующие им проценты.

Сложные задачи на пропорцию

1. 
   Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

Учащиеся очень удивятся, когда узнают, что «оче­видный» ответ «12 яиц» неверен. Решение первой за­ дачи из этого раздела лучше разобрать коллективно, быть может, после домашнего обдумывания, записав кратко условие задачи:

Кур Дней Яиц

3 33
12 12 х

В ходе диалога нужно выяснить, во сколько раз уве­личилось число кур (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось (увели­чилось в 4 раза); во сколько раз увеличилось число дней (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц (увели­чилось в 4 раза). Число яиц равно: х = 3 4 4 = 48.
2. Три маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. Сколько маляров надо поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна?

3. Курсы иностранного языка арендуют в школе помещения для занятий. В первом полугодии за арен­ду четырех классных комнат по 6 дней в неделю школа получала 336 р. в месяц. Какой будет арендная плата за месяц во втором полугодии за 5 классных комнат по 5 дней в неделю при тех же условиях?

4. (Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона.) Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколь­ко понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

5. (Старинная задача.) На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 р. Сколько нужно издержать на содержание 75 человек в продолжение 70 дней?
Рассмотрим более сложные задачи с четырьмя и даже шестью величинами. Их можно задать в каче­стве необязательного домашнего задания наиболее сильным учащимся, которые любят распутывать го­ловоломные задачи.
6. (Из «Арифметики» АЛ. Киселева.) Для осве­щения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лам­пы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?

7. (Старинная задача.) Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины ка­нал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?
Задачи на движение по реке

Скорости по течению и против течения - суть сумма и разность собственной скорости и скорости течения. Чтобы их найти, нужно применить освоен­ный ранее прием нахождения двух величин по их сумме и разности: разность скоростей по течению и против течения равна удвоенной скорости течения.
1. На путь из пункта А в пункт В теплоход за­тратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь - 2 ч. В ка­ком направлении течет река?

1. 
   Скорость катера в стоячей воде 18 км/ч. Скорость течения реки 2 км/ч. С какой скоростью будет двигаться катер по течению реки? Против течения?
2. 
   Скорость катера в стоячей воде (собственная скорость) 12 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч. Определите: скорость катера по течению и против течения реки; путь катера по течению реки за 3 ч; путь катера против течения реки за 5 ч.
3. 
   Собственная скорость теплохода 27 км/ч, ско­рость течения реки 3 км/ч. Сколько времени затратит теплоход на путь по течению реки между двумя причалами, если расстояние между ними равно 120 км?
4. 
   Катер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, плыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое расстояние он проплыл за все время, если скорость течения реки 2 км/ч?
5. 
   Расстояние между двумя причалами 24 км. Сколько времени потратит моторная

1. 
   Определите скорости и заполните таблицу:

1. 
   Моторная лодка проплыла 48 км по течению за 3 ч, а против течения - за 4 ч. Найдите скорость течения.
2. 
   Скорость течения реки 3 км/ч. На сколько километров в час скорость катера по течению больше его скорости против течения?

5 скоростью удаления.)

скоростью сближения.)

1. 
   
2. 
   (Старинная задача.)
3. 
   (Старинная задача.)
   

1. 
   
2. 
   
3. 
   в пути первый поезд;
4. 
   

8. Расстояние между городами А и В равно 720 км. Из А в В

10. 1) Из пункта А в пункт В А и В равно 30 км?

1. 
   Из пункта А в пункт В,
   
2. 
   

1. 
   30-2 = 60 (км);
2. 
   10 + 5 = 15 (км/ч);
3. 
   60:15 = 4 (ч).

1. Два пешехода одновременно вышли в проти­воположных направлениях из одного пункта. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. Какое рас­стояние будет между ними через 3 ч? На сколько километров в час пешеходы удаляются друг от дру­га? (Эту величину называют скоростью удаления.)

2.Из двух сел, расстояние между которыми 36 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Их скорости 4 км/ч и 5 км/ч. На сколько километров в час пешеходы сближаются друг с дру­гом? (Эту величину называют скоростью сближения.)
Какое расстояние будет между ними через 3 ч?

1. 
   Два велосипедиста выехали одновременно на­встречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
2. 
   1) Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 ч до встре­чи? Есть ли в задаче лишнее условие?

3) Два велосипедиста выехали одновременно встречу друг другу из двух сел, расстояние мел которыми 54 км. Скорость первого 12 км/ч, второго 15 км/ч. Через сколько часов они будут находить друг от друга на расстоянии 27 км?

1. 
   Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км?
2. 
   (Старинная задача.) Некий юноша пошел Москвы к Вологде. Он проходил в день по 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юное проходивший в день по 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?
3. 
   (Старинная задача.) Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше
   второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?

1. 
   26 2 = 52 (версты) - на столько поезд отстал от первого;
2. 
   39 - 26 = 13 (верст) - на столько второй поезд отставал за 1 ч от первого поезда;
3. 
   52: 13 = 4 (ч) - столько времени был в пути первый поезд;
4. 
   39 4 = 156 (вёрст) - расстояние от Москвы до Твери.

8. Расстояние между городами А и В равно 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 ч навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов после выхода скорого поезда они встретятся?

9. Два поезда движутся навстречу друг другу -один со скоростью 70 км/ч, другой со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заме­тил, что первый поезд прошел мимо него за 12 с. Ка­кова длина первого поезда?

10. 1) Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из А в В вы­ехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипе­дист доехал до В, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если рассто­яние между А и В равно 30 км?

1. 
   Из пункта А в пункт В, расстояние между кото­рыми 17 км, выехал велосипедист со скоростью12 км/ч. Одновременно с ним из А в В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул и поехал назад с той же скоростью.
   Через сколько часов после начала движения они встретятся?
2. 
   Расстояние между двумя пунктами 12 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростями 10 км/ч и 8 км/ч. Каждый из них доехал до другого пункта, повернул и поехал назад с той же скоростью. Через сколько ча­сов после начала движения они встретятся во второй раз?

1)30:10 = 3(ч); 4) 10 + 5 = 15 (км/ч);

1. 
   5-3 = 15 (км); 5) 15: 15 = 1 (ч);
2. 
   30 - 15 = 15 (км); 6) 3 + 1 = 4 (ч).

1. 
   30-2 = 60 (км);
2. 
   10 + 5 = 15 (км/ч);
3. 
   60:15 = 4 (ч).

Тест №4
1. Найдите время, за которое велосипедист доберется из пункта А в пункт В

(см. схему на рисунке 1).
υ=12 км/ч

А|_________________________________________ В

s = 6 км
Рис. 1.
А . 72 ч Б . 0,5 ч В . 2 ч

Г . 5 ч Д . ________________

1. 
   Из двух пунктов, расстояние между которыми 10 км, вышли одновременно в одном направлении два туриста. Скорость первого туриста 4 км/ч, а скорость идущего за ним следом – 6 км/ч. Через какое время второй турист догонит первого?

А . Через 1 ч Б . Через 2,5 ч В . Через 1

Г. Через 5 ч Д . ________________________

1. 
   От одной станции до другой по течению реки лодка плыла 3 часа, а на обратный путь затратила 4 ч. Скорость течения реки 1 км/ч. Составьте уравнение для нахождения собственной скорости лодки, обозначив её через х км/ч.

Ответ: _____________________

Все задачи из данного раздела являются необязательными в том смысле, что не нужно добиваться от всех учащихся умения их решать. Используйте их настолько, насколько это будет интересно вашим учащимся, насколько вы сумеете организовать учебную деятельность школьников, способствующую их развитию. Первые задачи хороши для фронтальной работы с классом,. После работы с ними учащиеся выучиваются лучше различать прямую и обратную пропорциональность, испытывают меньше затруднений с задачами на простое тройное правило.

278 .* 3 курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

Учащиеся очень удивятся, когда узнают, что «очевидный» ответ «12 яиц» неверен. Решение первой задачи из этого раздела лучше разобрать коллективно, быть может, после домашнего обдумывания. Наводящие вопросы даны в разделе «Ответы и советы». Записав кратко условие задачи:

кур дней яиц

12 12 х,

в ходе диалога нужно выяснить, во сколько раз увеличилось число кур (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось (увеличилось в 4 раза); во сколько раз увеличилось число дней (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц (увеличилось в 4 раза). В результате число яиц равно:

x = 3·4·4 = 48.

279 .* 100 синиц за 100 дней съедают 100 кг зерна. Сколько килограммов зерна съедят 10 синиц за 10 дней?

280 .* 3 маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон.

а) Сколько маляров надо поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна?

б) Сколько окон покрасят 5 маляров за 4 дня?

в) За сколько дней 2 маляра покрасят 48 окон?

281 .* а) 2 землекопа за 2 ч выкопают 2 м канавы. Сколько землекопов за 5 ч выкопают 5 м канавы?

б) 10 насосов за 10 мин выкачивают 10 т воды. За сколько минут 25 насосов выкачают 25 т воды?

282 .* Курсы иностранного языка арендуют в школе помещения для занятий. В первом полугодии за аренду 4 классных комнат по 6 дней в неделю школа получала 336 р. в месяц. Какой будет арендная плата за месяц во втором полугодии за 5 классных комнат по 5 дней в неделю при тех же условиях?

283 .* Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого . Некто имел 100 р . в купечестве 1 год и приобрел ими только 7 р. А когда отдал в купечество 1000 р. на 5 лет, сколько ими приобретет?

284 .* Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона . Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

285 .* Старинная задача . Переписчик в течение 4 дней может переписать 40 листов, работая по 9 ч в день. Во сколько дней он перепишет 60 листов, работая по 12 ч в день?

286 .* У хозяйки спросили:

Хорошо ли несутся Ваши куры?

Считайте сами, - был ответ, - полторы курицы за полтора дня несут полтора яйца, а всего у меня 12 кур.

Сколько яиц несут куры в день?

287 .* а) В первой бригаде землекопов 4 человека - они за 4 ч выкопали 4 м канавы. Во второй бригаде землекопов 5 человек - они за 5 ч выкопали 5 м канавы. Какая бригада работает лучше?

б) У первой хозяйки 3 курицы за 3 дня снесли 6 яиц, а у второй хозяйки 4 курицы за 4 дня снесли 8 яиц. У какой хозяйки лучше несутся куры?

288 .* Старинные задачи. а) На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 р. Сколько нужно издержать на содержание 75 человек в продолжение 70 дней?

б) На напечатание книги, содержащей по 32 строки на странице и по 30 букв в строке, нужно 24 листа бумаги на каждый экземпляр. Сколько нужно листов бумаги, чтобы отпечатать эту книгу в том же самом формате, но чтоб на странице было 36 строк и в строке 32 буквы?

Рассмотрим более сложные задачи с четырьмя и даже шестью величинами. Их можно задать в качестве необязательного домашнего задания наиболее сильным учащимся, которые любят распутывать головоломные задачи.

289 .* Из «Арифметики» А.П. Киселева .

а) Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?

б) На 5 одинаковых керосинок, горевших 24 дня по 6 ч ежедневно, израсходовано 120 л керосина. Насколько дней хватит 216 л керосина, если 9 таких же керосинок будут гореть по 8 ч в день?

290 .* Старинная задача. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м , глубина 18 дм ?

Задачу 290 С.И. Шохор-Троцкий считал не удовлетворяющей жизненным условиям и не подходящей для школьной практики, он рассматривал ее в своей «Методике арифметики» (1935 г.) «для себя». Применим усовершенствованную нами «окончательную формулу». В сильном классе этот способ можно показать учащимся, но только при их активном участии в решении - в противном случае работа будет бессмысленной. Ниже записано краткое условие задачи и дано рассуждение, параллельно которому на доске может вестись постепенно дополняемая запись, показанная справа.

Дл. Чел. Дн. Час. Шир. Гл.

96 26 40 12 20 12

х 39 80 10 10 18

Длина канала увеличится от

увеличения числа человек в 39 / 26 раза, х = 96 · 39 / 26

от увеличения числа дней в 80 / 40 раза х = 96 · 39 / 26 · 80 / 40

и от уменьшения ширины в 20 / 10 раза; х = 96 · 39 / 26 · 80 / 40 .

Длина канала уменьшится от

уменьшения числа часов в 12 / 10 раза и х = 96 · 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10

и от увеличения глубины в 18 / 12 раза: х = 96 · 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10: 18 / 12 .

Окончательно имеем: х = 320. Это означает, что 39 землекопов могут вырыть канал длиной 320 м.

Все задачи из данного раздела являются необяза­тельными в том смысле, что не нужно добиваться от всех учащихся умения их решать. Используйте их настолько, насколько это будет интересно вашим уча­щимся.

1. 
   Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 кур за 12 дней?

Учащиеся очень удивятся, когда узнают, что «оче­видный» ответ «12 яиц» неверен. Решение первой за­дачи из этого раздела лучше разобрать коллективно, быть может, после домашнего обдумывания, записав кратко условие задачи:

Кур Дней Яиц

3 33
12 12 х

В ходе диалога нужно выяснить, во сколько раз уве­личилось число кур (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось (увели­чилось в 4 раза); во сколько раз увеличилось число дней (в 4 раза); как при этом изменилось число яиц (увели­чилось в 4 раза). Число яиц равно: х = 3 4 4 = 48.

2. Три маляра за 5 дней могут покрасить 60 окон. Сколько маляров надо поставить на покраску окон, чтобы они за 2 дня покрасили 64 окна?

3. Курсы иностранного языка арендуют в школе помещения для занятий. В первом полугодии за арен­ду четырех классных комнат по 6 дней в неделю школа получала 336 р. в месяц. Какой будет арендная плата за месяц во втором полугодии за 5 классных комнат по 5 дней в неделю при тех же условиях?

4. (Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона.) Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколь­ко понадобится писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

5. (Старинная задача.) На содержание 45 человек издержано в 56 дней 2040 р. Сколько нужно издержать на содержание 75 человек в продолжение 70 дней?

Рассмотрим более сложные задачи с четырьмя и даже шестью величинами. Их можно задать в каче­стве необязательного домашнего задания наиболее сильным учащимся, которые любят распутывать го­ловоломные задачи.

6. (Из «Арифметики» АЛ. Киселева.) Для осве­щения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фунтов керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лам­пы. На сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?

7. (Старинная задача.) Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины ка­нал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?

Решение задач Подведение итогов занятия Ход занятия I. Организационный момент - страница №1/1

Задачи на прямую и обратную пропорциональность трех и более величин

Цель занятия: углубление знаний о способах решения задач на прямую и обратную пропорциональность

Задачи занятия:

• 
  Содействовать быстрой актуализации и практическому применению ранее полученных знаний, умений и способов действий в нестандартной ситуации
• 
  Создать условия для расширения кругозора учащихся при решении старинных практических задач

1. 
   Организационный момент
2. 
   Устный счет
3. 
   Решение задач
4. 
   Подведение итогов занятия

Ход занятия

I. Организационный момент

1. Чтобы спорилось нужное дело,

Чтобы в жизни не знать неудач,

Мы в поход отправляемся смело

В мир загадок и сложных задач.

Не беда, что идти далеко,

Не боимся, что путь будет труден.

Достижения крупные людям

Никогда не давались легко.

2. Девизом сегодняшнего урока будут слова «Без муки нет науки».

3. А теперь разгадайте ребус

ПРОПОРЦИЯ
II. Устный счет

1 . к. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их:

а) в 2 раза больше? б) в 2 раза меньше?

2. За несколько одинаковых карандашей заплатили 80 к. Сколько нужно заплатить за такое же количество карандашей, каждый из которых:

а) в 2 раза дороже? б) в 2 раза дешевле?

3. Имеются деньги на покупку 30 карандашей.

а) Сколько тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?

б) Сколько ручек можно купить на те же деньги, если ручка дороже карандаша в 10 раз?

III. Решение задач

В давние времена для решения многих типов задач существовали специальные правила их решения. Знакомые нам задачи на прямую и обратную пропорциональность, в которых по трём значениям двух величин нужно найти четвёртое, назывались задачами на «тройное правило».

Если же для трёх величин, были даны пять значений, и требовалось найти шестое, то правило называлось «пятерным». Аналогично для четырёх величин существовало «семеричное правило». Задачи на применение этих правил назывались ещё задачами на «сложное тройное правило».

Попробуем!!!

Задача 1. Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?

Ответ у задачи получается ………?

Решение задачи разберём коллективно, записав кратко условие задачи:

Во сколько раз увеличилось число кур? (в 4 раза)

Как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось? (увеличилось в 4 раза)

Во сколько раз увеличилось число дней? (в 4 раза)

Как при этом изменилось число яиц? (увеличилось в 4 раза)

Х = 3*4*4 =48(яиц)

Задача 2 (Из «Всеобщей арифметики» И. Ньютона)
Исаак Ньютон - английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики. Первые математические открытия Ньютон сделал ещё в студенческие годы. В своей «Универсальной арифметике» Ньютон выразил убеждение, что «при изучении наук примеры полезнее, чем правила». Универсальная арифметика Ньютона стала самым распространенным в России учебником второй половины 18 века.

Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобиться писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

Учащиеся пытаются коллективно ставить вопросы и отвечать на них.

(количество писцов увеличивается от увеличения листов в раз и уменьшается

от увеличения дней работы (писцов)).

Рассмотрим более сложную задачу с четырьмя величинами.

Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120т фунтов керосина, причём в каждой комнате горело по 4 лампы. Hа сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?
Киселев Андрей Петрович - российский, советский педагог, законодатель школьной математики. «Арифметика» Киселёва - первый школьный учебник по арифметике, вышел в 1884 г. В 1938 г.Он был утвержден в качестве учебника арифметики для 5-6 классов средней школы. Учебник арифметики Киселёва выдержал 29 изданий до революции (более чем миллионный тираж) плюс ещё 10 млн экземпляров, отпечатанных при жизни Киселева. С 2002 года издательство Физматлит переиздаёт классические учебники А. П. Киселёва.

Записывается краткое условие задачи и даётся рассуждение, параллельно которому на доске может вестись постепенно дополняемая запись Х = …..

Количество дней пользования керосином увеличивается от увеличения количества керосина в раз и от уменьшения ламп враза.

Количество дней пользования керосином уменьшается от увеличения комнат в 20 раза.

Х = 48 * * : = 60 (дней)

Окончательно имеет Х = 60. Это означает, что 125 фунтов керосина хватает на 60 дней.

Задача 4(Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого ). Некто имел 100 р . в купечестве 1 год и приобрел ими только 7 р. А когда отдал в купечество 1000 р. на 5 лет, сколько ими приобретет?
Леонтий Филиппович Магницкий - русский математик, педагог. Преподаватель, автор первой в России учебной энциклопедии по математике. Родился он в крестьянской семье, на берегу озера Селигер. «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого создавалась первоначально как учебник для будущих офицеров армии и флота. Магницкий в своем учебнике не только стремился доходчиво разъяснить математические правила, но и побудить у учеников интерес к учебе. Он постоянно на конкретных примерах из обыденной жизни, военной и морской практики подчеркивал важность знания математики.

Задача 5. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 часов в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширина и 12 м глубины в течении 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 30 землекопов, работая в течении 80 дней по 10 часов в день, если ширина должна быть 10 м, глубина 18 дм?

Х = 320

Задание 6: Прочитать тексты предложенных задач. Определите, является ли прямой пропорциональной или обратной пропорциональной зависимость между величинами. В столбце “П,О” представленной ниже таблицы поставьте букву «П», если зависимость прямая, букву “О”, если зависимость обратная и прочерк, если нет зависимости.

Старинная задача 7. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, глубина 18 дм?

Задачу 290 С.И. Шохор-Троцкий считал не удовлетворяющей жизненным условиям и не подходящей для школьной практики, он рассматривал ее в своей «Методике арифметики» (1935 г.) «для себя». Применим усовершенствованную нами «окончательную формулу». В сильном классе этот способ можно показать учащимся, но только при их активном участии в решении - в противном случае работа будет бессмысленной. Ниже записано краткое условие задачи и дано рассуждение, параллельно которому на доске может вестись постепенно дополняемая запись, показанная справа.

Дл. Чел. Дн. Час. Шир. Гл.

96 26 40 12 20 12

х 39 80 10 10 18

Длина канала увеличится от

увеличения числа человек в 39 / 26 раза, х = 96· 39 / 26

от увеличения числа дней в 80 / 40 раза х = 96· 39 / 26 · 80 / 40

и от уменьшения ширины в 20 / 10 раза; х = 96· 39 / 26 · 80 / 40 .

Длина канала уменьшится от

уменьшения числа часов в 12 / 10 раза и х = 96· 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10

и от увеличения глубины в 18 / 12 раза: х = 96· 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10: 18 / 12 .

Окончательно имеем: х = 320. Это означает, что 39 землекопов могут вырыть канал длиной 320 м.
IV . Подведение итогов занятия. Рефлексия
Пусть каждый день и каждый час

Вам новое добудет.

Пусть добрым будет ум у вас,

А сердце умным будет.

Типы задач

Типы задач.

Изучение задач по теме «Натуральные числа»

На китобойное судно подняли 6 взрослых китов в среднем по 150 т каждый, и отпилили им головы. Какое расстояние заняли бы все 6 китовых туш без голов, если длина взрослого кита составляет 18 м, а длина головы - 1/3 всего кита?

Чтобы образовался 1 кг молока, через вымя коровы должно протечь 500 кг крови. Для получения от коровы за сутки 20 кг молока, сколько тонн крови протечет через ее вымя? Сколько раз за сутки пройдет кровь через вымя коровы, если у коровы 40 кг крови?

Один кубометр неочищенных сточных вод в среднем загрязняет 12,5 мЗ чистых. Вычислить, сколько кубометров неочищенных сточных вод достаточно для того, чтобы загрязнить водный бассейн, находящийся в вашем школьном саду.

Сложение и вычитание натуральных чисел

Задачи нацелены на повторение связи отношений «на... больше» и «на... меньше» с операциями сложения и вычитания.

Ученик токаря обточил 120 деталей за смену, а токарь на 36 деталей больше. Сколько деталей обточили вместе?

В коллекции имеется 128 марок. Из них 93 российские, а остальные иностранные. На сколько в коллекции российских марок больше, чем иностранных,

Задумали число, увеличили его на 45 и получили 66. найдите задуманное число.

Для решения этой задачи можно использовать схематический рисунок 4, помогающий наглядно представить взаимосвязь операций сложения и вычитания. Особенно эффективной помощь рисунка окажется при большем числе действий с неизвестной величиной.

Рис.4 Решение задачи графическим способом.

Задумали число, увеличили его на 120, результат уменьшили на 49. получили 200. найти задуманное число.

В трех классах 44 девочки - это на 8 меньше, чем мальчиков. Сколько мальчиков в трех классах?

Покупатель из 50 руб. в уплату за купленный товар отдал 30 руб. и получил 2 руб. сдачи. Сколько денег у него осталось?

Умножение и деление натуральных чисел

Задачи предназначены для повторения связи отношений «больше в...» и «меньше в...» с операциями умножения и деления. В некоторых из них решение затруднено добавлением шагов, связанных с отношениями «больше на...» и «меньше на...».

Число 48 увеличьте на 3, полученный результат увеличьте в 3 раза. (Старинная задача.)

С завода отправили 9 подвод с посудой, на каждой по 2 ящика, и в каждом ящике по 45 дюжин тарелок. Сколько тарелок отправлено с завода?

Велосипедист в каждый из 10 дней проезжал по 36 км. Сколько километров в день ему надо проезжать, чтобы вернуться обратно за 9 дней?

Задачи на части

Для варенья на 2 части малины берут 3 части сахара. Сколько килограммов сахара следует взять на 2 кг 600 г ягод?

На первой полке стояло в 4 раза больше книг, чем на второй. Это на 12 книг больше, чем на второй полке. Сколько книг стояло на каждой полке,

Сумма двух чисел 230. Если первое из них уменьшить на 20, то числа станут равными.

Задачи на движение по реке

Для успешного усвоения этого материала следует усвоить, что скорости по течению и против течения - суть сумма и разность собственной скорости и скорости течения.

На путь из пункта А в пункт В теплоход затратил 1 ч 40 мин, а на обратный путь - 2 ч. В каком направлении течет река?

Костер, имеющий собственную скорость 15 км/ч, плыл 2 ч по течению реки и 3 ч против течения реки. Какое расстояние он проплыл за все время, если скорость течения реки 2 км/ч?

Моторная лодка проплыла 48 км по течению за 3 ч и против течения - за 4 ч. Найдите скорость течения.

Различные виды задач на движение

Традиционно трудными для учащихся являются задачи на движение. Для подведения их к понятию скорости удаления в задаче следует: найти расстояние между участниками движения в 3 действия, записать числовое выражение (например, 3-4 + 3-5), вынести общий множитель за скобки, задаться вопросом: что показывает сумма 4 + 5?

После этого нужно показать решение задачи в два действия с использованием скорости удаления. Аналогично вводится понятие -скорости сближения.

Два пешехода одновременно вышли в противоположных направлениях из одного пункта. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч? На сколько километров в час пешеходы удаляются друг от друга? (Эту величину называют скоростью удаления).

Из двух сел, расстояние между которыми 36 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Их скорости 4 км/ч и 5 км/ч. на сколько километров в час пешеходы сближаются друг с другом? (Эту величину называют скоростью сближения).

Задачи по теме «Рациональные числа»

Задачи на дроби являются древнейшими из дошедших до нас по письменным источникам; их решение было весьма сложной проблемой до тех пор, пока не изобрели обозначения для обыкновенных дробей, не разработали правила действий с ними. В Древнем Египте, например, существовали иероглифы только для

обозначения дробей с числителем 1. единственным исключением

2 была дробь з 9 для которой имелось соответствующее обозначение.

В заключение отметим, что при решении основных задач на дроби использование десятичных дробей не вносит ничего нового, так как десятичные дроби являются иной записью некоторых из обыкновенных дробей.

Задачи на дроби:

Задача 1. Было 600 рублей, 4 суммы истратили. Сколько денег истратили? Решение:

Чтобы найти 4 от 600 рублей, надо эту сумму разделить на 4:

600:4=150(руб.)

2 Задача 2. Было 1000 рублей, 5 этой суммы истратили. Сколько

денег истратили?

Решение:

Сначала найдем одну пятую от 1000 руб., а потом две пятых:

1)1000: 5 = 200 (руб.),

2) 200 2 = 400 (руб.)

Эти два действия можно объединить:

1000: 5-2 = 400 (руб.) 2

Чтобы найти 5 числа 1000, можно 1000 разделить на знаменатель

дроби и результат умножить на ее числитель.

Задачу 2 можно решить по правилу:

Если часть целого выражена дробью, то, чтобы найти эту часть,

можно целое разделить на знаменатель дроби и результат умножить

на ее числитель.

Задача 3. Потратили 50 рублей это составило 6 первоначальной суммы денег. Найдите первоначальную сумму денег. Решение:

50 р. В 6 раз меньше первоначальной суммы, которая в 6 раз больше, чем 50 р. Чтобы найти эту сумму, надо 50 р. умножить на 6:

50 6 = 300 (р.).

2 Задача 4. Потратили 600 рублей, это составило 3

первоначальной суммы денег. Найдите первоначальную сумму денег.

Решение:

условию его две трети равны 600. Сначала найдем одну треть

первоначальной суммы, а потом и три третьих:

600: 2 - 300 (р.),

300 3 = 900 (р.).

Эти два действия можно объединить: 600: 2 3 = 900 (р.).

Чтобы найти число, 3 которого равны 600, можно 600 разделить на числитель дроби и результат умножить на ее знаменатель. Задачу 4 можно решить по правилу:

Если часть искомого целого выражена дробью, то чтобы найти это целое, можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на ее знаменатель.

Задачи на сложение и вычитание обыкновенных дробей

Больше внимания уделим задачам, при решении которых вся величина принимается за единицу, причем сначала ее лучше

представлять как 2 у з и т.п. величины.

2 3_

Задача 1. Первый тракторист вспахал? поля, второй - ? поля.

Вместе они вспахали 10 га. Определите площадь поля.

Задача 2. На ветке сидели воробьи. Когда третья часть улетела,

то их осталось 6. Сколько воробьев было на ветке первоначально?

Для решения этой задачи целесообразно предложить учащимся

следующий чертеж:

Задача 3. До обеда токарь выполнил 8 задания, после обеда - 8 задания, после чего ему осталось выточить 24 детали. Сколько деталей он должен был выточить?

Задачи на умножение и деление обыкновенных дробей

Задача 1. Каждый день турист проходит з намеченного маршрута.

I Какую часть маршрута он пройдет за 2 дня; за 2 дня; за 4 дня?

2 Задача 2. Найдите 5 числа 60.

3_ 4

Задача 3. Что больше 5 от 45 м или 5 от 30 м?

Задача 4. Найдите число, 5 которого равны 60.

Задачи на совместную работу

Задача 1. На птицеферму привезли корм, которого хватило бы уткам на 30 дней, а гусям на 45 дней. Рассчитайте, на сколько дней хватит привезенного корма уткам и гусям вместе?

Задача 2. (Из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого.) Один человек выпьет кадь пития в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь?

Задача 3. Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады - за 18 дней; первая и третья бригады - за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?

Товарный поезд прошел 720 км со скоростью 80 км/ч. Какое расстояние пройдет за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч? Путь пропорционален скорости при постоянном времени движения,

80 80

значит, с уменьшением скорости в 60 раза путь уменьшится в 60 раза.

80 720-60

720: 60 = 80 = 540 (км).

Таким же приемом решается задача, если скорость не уменьшилась, а увеличилась, если величины не прямо, а обратно пропорциональны.

Задачи на пропорции.

Простые задачи на пропорции

Задача 1. За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их купили в 2 раза меньше?

Задача 2. За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, каждый из которых в 2 раза дороже?

Задача 3. Имеются деньги на покупку 30 карандашей. Сколько " тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?

Задача 4. Велосипедист за несколько часов проехал 36 км. Какое расстояние пройдет за то же время пешеход, скорость которого в 3 раза меньше скорости велосипедиста?

Задача 5. Некоторое расстояние велосипедист проехал за 3 часа. За сколько часов это расстояние проедет мотоциклист, скорость которого в 5 раз больше скорости велосипедиста? Перейдем к решению задач с помощью пропорций.

Задача 6. За 6 часов поезд прошел 480 км. Какой путь прошел поезд за первые 2 часа, если его скорость была постоянна? Потребуется краткая запись условия задачи:

В процессе устного обсуждения выяснили, что время и путь уменьшились в одно и то же число раз, так как при постоянной скорости эти величины прямо пропорциональны.

Задача 7. Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью 80 км/ч за 3 часа. За сколько часов товарный поезд пройдет то же расстояние со скоростью 40 км/ч?

Задача 8. За 2 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 3 часа?

Задача 9. Три петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят 5 петухов?

Задача 10. Когда Вася прочитал 10 страниц книги, то ему осталось прочитать еще 90 страниц. Сколько страниц ему останется прочитать, когда он прочитает 30 страниц?

Зависимость числа прочитанных страниц книги и числа оставшихся страниц часто принимают за обратную пропорциональность: чем больше страниц прочитано, тем меньше осталось прочитать.

Но увеличение одной страницы и уменьшение другой происходит не в одно и то же число раз.

Сложные задачи на пропорции

Старинная задача. Артель землекопов в 26 человек, работающая машинами по 12 ч в день, может вырыть канал в 96 м длины, 20 м ширины и 12 дм глубины в течение 40 дней. Какой длины канал могут вырыть 39 землекопов, работая в течение 80 дней по 10 ч в день, если ширина канала должна быть 10 м, а глубина 18 дм?

Длина канала увеличится от увеличения числа человек в 26 раза, от

30 18-

увеличения числа дней в 40 раза и от уменьшения ширины в 12 раза.

П£ 39 80 20 12 18

х = 96: -: -

26 40 10 10 12

Окончательно имеем х = 320.

Нахождение процента от числа

Задача 11. Товар стоил 5000 р. Его цена повысилась на 20%. На сколько рублей повысилась цена? Какова новая цена товара?

Задача 12. Банк выплачивает доход из расчета 2% вложенной суммы в год. Сколько рублей оказывалось на счете через год, если на него положили: 100 р.; 200 р.; 1000 р.; 12000 р.?

Задача 13. Желая блеснуть знанием процентов, Вася сказал, что 60% книга он прочитал на прошлой неделе, а оставшиеся 50% на этой. Вася не напутал?

Задача 14. В школе 400 учащихся, 52% этого числа составляют девочки, Сколько мальчиков в школе?

Задача 15. Увеличьте число 200 на 10%. Полученное число уменьшите на 10%. Получится ли снова число 200? Почему?

Нахождение числа по его проценту

Задача 16. В магазин электротоваров привезли лампочки. Среди них оказалось 16 разбитых лампочек, что составило 2% их числа. Сколько лампочек привезли в магазин?

Задача 17. Найдите число, 110% которого равны 33.

Задача 18.60% класса пошли в кино, а остальные 12 человек на выставку. Сколько учащихся в классе?

Задача 19. Трава при сушке теряет 80% своей массы. Сколько тонн сена получится из 4 т свежей травы? Сколько тонн травы нужно накосить, чтобы насушить 4 т сена? 100 - 80 - 20 (%) - массы травы составляет масса сена; 4 0,2 = 0,8 (т) - сена получится из 4 т травы; 4: 0,2 = 20 (т) - травы надо накосить.

Нахождение процентного отношения

Задача 20. Из 16 кг свежих груш получили 4 кг сушеных. Какую часть массы свежих груш составляет масса сушеных? Выразите эту часть в процентах. Сколько процентов массы теряется при сушке?

Задача 21. Сколько процентов числа 50 составляет число 40? Сколько процентов числа 40 составляет число 50?

Задача 22. В месяце было 12 солнечных и 18 пасмурных дней. Сколько процентов месяца составляют солнечные дни? пасмурные дни?

Задача 23. Цена товара снизилась с 40 р. до 30 р. На сколько рублей снизилась цена? На сколько процентов снизилась цена?